Обыкнове́нное дифференциа́льное уравне́ние, уравнение, в котором неизвестной является функция от одного независимого переменного, причём в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и её производные различных порядков.

Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем (G. Leibniz, 1676). Первые исследования обыкновенных дифференциальных уравнений были проведены в конце 17 в. в связи с изучением проблем механики и некоторых геометрических задач.

Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твёрдого тела свести к математической задаче нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчёт радиотехнических схем и вычисление траекторий спутников, исследование устойчивости самолёта в полёте и выяснение течения химических реакций – всё это производится путём изучения и решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее важные и интересные технические приложения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. В свою очередь, прикладные вопросы служат источником новых постановок задач в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; именно так возникла, например, математическая теория оптимального управления.

В дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через $t$, неизвестные функции – через $x, y, z$ и другие, а производные этих функций по $t$ – через $\dot{x}, \ddot{x}, \ldots x^{(n)}$ и т. д.

Простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение встречается уже в анализе: нахождение первообразной для данной непрерывной функции $f(t)$ является по существу задачей об определении такой неизвестной функции $x=x(t)$, которая удовлетворяет уравнению

$$\dot x=f(t).\tag{1}$$Для доказательства разрешимости этого уравнения необходимо было построить специальный аппарат – теорию интеграла Римана.

Естественным обобщением уравнения (1) является обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной:

$$\dot{x}=f(t, x),\tag{2}$$где $f(t,x)$ – известная функция, определённая в некоторой области $D$ плоскости $t,x$. Многие практические задачи сводятся к задаче решения (или, как часто говорят, интегрирования) этого уравнения. Решением обыкновенного дифференциального уравнения (2) называется функция $x=x(t)$, определённая и дифференцируемая на некотором интервале $I$ и удовлетворяющая условиям:

$$\begin{gathered} (t, x(t)) \in D, \quad t \in I, \\ \dot{x}(t)=f(t, x(t)), \quad t \in I . \end{gathered}$$Решение обыкновенного дифференциального уравнения (2) геометрически можно изобразить на плоскости $t,x$ в виде кривой с уравнением $x=x(t)$, $t\in I$. Эта кривая называется интегральной кривой, в каждой своей точке она имеет касательную и целиком лежит в области $D$. Геометрическую интерпретацию самого уравнения (2) даёт поле направлений в области $D$, которое получается, если через каждую точку $(t,x)\in D$ провести отрезок $l_{t,x}$ малой длины с угловым коэффициентом $f(t,x)$. Любая интегральная кривая $x=x(t)$ в каждой своей точке $(t,x(t))$ касается отрезка $l_{t,x(t)}$.

Ответ на вопрос о том, когда уравнение (2) имеет решение, даёт теорема существования: если $f(t,x)\in C(D)$ (т. е. непрерывна в $D$), то через любую точку $\left(t_{0},x_{0}\right)\in D$ проходит по крайней мере одна непрерывно дифференцируемая интегральная кривая уравнения (2), и каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой подобласти, целиком лежащей в $D$ и содержащей точку $\left(t_{0},x_{0}\right)$. Другими словами, для всякой точки $\left(l_{0},x_{0}\right)\in D$ найдётся хотя бы одно непродолжаемое решение $x=x(t)$, $t\in I$, такое, что $x(t)\in C^{1}(I)$ (т. е. непрерывна в $I$ вместе с производной $\dot{x}(t)$),

$$x\left(t_{0}\right)=x_{0}\tag{3}$$и $x(t)$ стремится к границе области $D$, когда $t$ стремится к правому или левому концам интервала $I$.

Важнейшим теоретическим вопросом является выяснение того, какие предположения о правой части обыкновенного дифференциального уравнения надо сделать и какие дополнительные условия можно присоединить к уравнению, чтобы выделить одно-единственное его решение. Справедлива следующая теорема существования и единственности: если $f(t,x)\in C(D)$ и удовлетворяет в $D$ условию Липшица по $x$, a $\left(t_{0},x_{0}\right)\in D$, то уравнение (2) имеет единственное непродолжаемое решение, удовлетворяющее условию (3). В частности, если два решения $x=x_{1}(t)$, $t\in I_{1}$, и $x=x_{2}(t)$, $t \in I_{2}$, такого уравнения (2) совпадают хотя бы для одного значения $t=t_{0}$, т. е. $x_{1}\left(t_{0}\right)=x_{2}\left(t_{0}\right)$, то

$$x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad t \in I_{1} \cap I_{2}.$$Геометрическое содержание этой теоремы заключается в том, что вся область $D$ покрыта интегральными кривыми уравнения (2), которые нигде не пересекаются между собой. Единственность решений имеет место и при некоторых более слабых предположениях относительно функции $f(t,x)$.

Соотношение (3) называется начальным условием. Числа $t_{0}$ и $x_{0}$ называются начальными значениями для решения уравнения (2), а точка$\left(t_{0},x_{0}\right)$ – начальной точкой соответствующей интегральной кривой. Задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию (3) (или, как ещё говорят, имеющего начальные значения $t_{0},x_{0}$), называется задачей Коши, теорема даёт достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши (2), (3).

Часто прикладные вопросы приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входят несколько неизвестных функций от одного и того же независимого переменного и их производные. Естественным обобщением уравнения (2) является нормальная форма системы дифференциальных уравнений $n$-го порядка:

$$\dot{x}^{i}=f^{i}\left(t, x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}\right), \quad i=1, \ldots, n,\tag{4}$$где $x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}$ – неизвестные функции от переменного $t$, a $f^{i}$, $i=1,2, \ldots, n$, суть заданные функции от $n+1$ переменных. Полагая

$$\begin{gathered} x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) \\ f(t, x)=\left(f^{1}(t, x), \ldots, f^{n}(t, x)\right), \end{gathered}$$можно переписать систему (4) в векторной форме:

$$\dot{x} =f(t, x).\tag{5}$$Решением системы (4) или векторного уравнения (5) является вектор-функция

$$x=x(t)=\left(x^{1}(t),\ldots,x^{n}(t)\right),\qquad t \in I.\tag{6}$$Каждое решение можно представлять себе в $(n+1)$-мерном пространстве $t,x^{1},x^{2},\ldots,x^{n}$ в виде интегральной кривой – графика вектор-функции (6).

Задача Коши для уравнения (5) состоит в отыскании решения, удовлетворяющего начальным условиям

$$x^{1}\left(t_{0}\right)=x_{0}^{1},\quad \ldots, \quad x^{n}\left(t_{0}\right)=x_{0}^{n},$$или

$$x\left(t_{0}\right)=x_{0}.\tag{7}$$Решение задачи Коши (5), (7) удобно записывать в виде

$$x=x\left(t, t_{0}, x_{0}\right),\quad t \in I.\tag{8}$$Теорема существования и единственности для уравнения (5) формулируется так же, как и для уравнения (2).

Весьма общие системы обыкновенных дифференциальных уравнений (разрешённые относительно старших производных всех неизвестных функций) сводятся к нормальным системам. Важным частным классом систем (5) являются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка:

$$\dot{x}=A(t) x+F^{\prime}(t),$$где $A(t)$ – матрица типа $n \times n$.

Большое значение в приложениях и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений имеют автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$$\dot{x}=f(x),\tag{9}$$т. е. нормальные системы, правая часть которых явно не зависит от переменного $t$. В этом случае уравнение (6) удобно рассматривать как параметрическое представление кривой, сопоставляя решению фазовую траекторию в $n$-мерном фазовом пространстве $x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}$. Если $x=x(t)$ есть решение системы (9), то ей удовлетворяет также функция $x=x(t+c)$, где $c$ – произвольная постоянная.

Другим обобщением уравнения (2) является обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка, разрешённое относительно старшей производной: $$y^{(n)}=f\left(t, y,\dot{y}, \ldots, y^{(n-1)}\right).\tag{10}$$Важный частный класс таких уравнений – линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

$$y^{(n)}+a_{1}(t) y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(t) \dot{y}+a_{n}(t) y=F(t).$$Уравнение (10) сводится к нормальной системе $n$-го порядка, если ввести новые неизвестные функции переменного $t$ по формулам$$x^{1}=y,\quad x^{2}=\dot{y},\quad \ldots, \quad x^{n-1}=y^{(n-2)},\quad x^{n}=y^{(n-1)}.$$Если, например, уравнение (10) описывает динамику некоторого объекта и нужно исследовать движение этого объекта, начинающееся в определённый момент $t=t_{0}$ из определённого начального состояния, то к уравнению (10) добавляются дополнительные условия: $$y\left(t_{0}\right)=y_{0},\quad \dot{y}\left(t_{0}\right)=\dot{y_{0}},\quad \ldots, y^{(n-1)}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{(n-1)}. \tag{11}$$Задача отыскания такой $n$ раз дифференцируемой функции $y=y(t)$, $t \in I$, которая обращает уравнение (10) в тождество при всех $t\in I$ и удовлетворяет начальным условиям (11), называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности: если $$f\left(t, u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right) \in C(D)$$и удовлетворяет условию Липшица по $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$, а $$\left(t_{0}, y_{0}, \dot{y}_{0}, \ldots, y_{0}^{(n-1)}\right) \in D,$$то задача Коши (10), (11) имеет единственное решение.

Задача Коши далеко не исчерпывает тех задач, которые изучаются для уравнений (10) высших порядков [как и систем (5)]. Конкретные физические и технические проблемы часто приводят не к начальным условиям, а к дополнительным условиям иного вида (так называемым краевым условиям), когда значения искомой функции $y(t)$ и её производных (или соотношения между ними) задаются для нескольких различных значений независимого переменного. Например, в задаче о брахистохроне требуется проинтегрировать уравнение $$2 y \ddot{y}+\dot{y}^{2}+1=0$$при краевых условиях $y(a)=A$, $y(b)=B$; отыскание $2\pi$-периодического решения уравнения Дуффинга сводится к выделению такого его решения, которое удовлетворяет условиям периодичности: $y(0)=y(2 \pi)$, $\dot{y}(0)=\dot{y}(2 \pi)$; при изучении обтекания пластинки ламинарным потоком встречается задача: $$y^{(3)}+y\ddot{y}=0, \quad y(0)=\dot{y}(0)=0,\quad \dot{y}(t) \rightarrow 2\quad \text {при}\quad t \rightarrow \infty .$$Задача отыскания для обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка или системы обыкновенных дифференциальных уравнений решения, удовлетворяющего условиям, отличным от начальных условий (11), называется краевой задачей. Теоретический анализ существования и единственности решения краевой задачи имеет существенное значение для прикладной проблемы, приводящей к этой краевой задаче, поскольку он показывает взаимную согласованность допущений, принятых при математическом описании проблемы, и известную полноту этого описания. Одной из важных краевых задач является задача Штурма – Лиувилля. Краевые задачи для линейных уравнений и систем тесно связаны с задачами о собственных значениях и собственных функциях, а также со спектральным анализом обыкновенных дифференциальных операторов.

Главной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение решений таких уравнений. Однако вопрос о том, что значит изучить решения обыкновенного дифференциального уравнения, в разное время понимали по-разному. Первоначально стремились осуществить интегрирование уравнений в квадратурах, т. е. получить замкнутую формулу, дающую (в явной, неявной или параметрической форме) выражение зависимости того или иного решения от $t$ через элементарные функции и интегралы от них. Такие формулы, если они найдены, оказывают существенную помощь в вычислениях и при исследовании свойств решений. Особый интерес представляет описание всей совокупности решений данного уравнения. При весьма общих предположениях уравнению (5) удовлетворяет семейство вектор-функций, зависящее от $n$ произвольных независимых параметров. Если уравнение этого семейства имеет вид

$$x=\varphi\left(t, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}\right),$$то функция $\varphi$ называется общим решением уравнения (5).

Однако в середине 19 в. были указаны первые примеры обыкновенных дифференциальных уравнений, которые нельзя проинтегрировать в квадратурах. Оказалось, что решение в замкнутой форме удаётся найти лишь для небольшого числа классов уравнений (см., например, уравнение Бернулли, Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами). Не выражающиеся в квадратурах решения отдельных, наиболее важных и часто встречающихся уравнений (например, уравнение Бесселя) стали изучать подробно, ввели для них специальные обозначения, исследовали их свойства и составили таблицы значений. Так появились многие специальные функции.

В связи с потребностями практики постоянно разрабатывались и способы приближённого интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, например метод последовательных приближений, метод Адамса и др. Были предложены также разнообразные приёмы графического и механического интегрирования этих уравнений. Математика располагает богатым набором численных методов решения многих задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы представляют собой удобные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника даёт возможность экономно и быстро довести решение каждой такой задачи до числового результата.

Однако численные методы для конкретного уравнения дают лишь конечное число частных решений на конечном отрезке изменения независимого переменного. Они не могут ответить на вопросы о том, каково асимптотическое поведение решений, есть ли у данного уравнения периодическое решение, имеет ли это уравнение колеблющееся решение. Между тем во многих прикладных задачах важно установить характер решения на бесконечном промежутке изменения независимого переменного, изучить полную картину интегральных кривых. В связи с этим центр тяжести в теории обыкновенных дифференциальных уравнений был перенесён на исследование общих закономерностей поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, разработку методов, которые позволяли бы получать представление о глобальных свойствах решений по самому дифференциальному уравнению, без его интегрирования.

Всё это составило предмет качественной теории дифференциальных уравнений, возникшей в конце 19 в. и интенсивно развивающейся.

Принципиальное значение имеет выяснение того, является ли задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения корректно поставленной задачей. Поскольку в конкретных задачах начальные значения не могут быть указаны абсолютно точно, то важно выяснить, когда малые изменения начальных значений влекут за собой также малые изменения решений. Справедлива теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений: пусть (8) есть решение уравнения (5), где $f(t,x)\in C(D)$ и удовлетворяет условию Липшица по $x$; тогда для любого $\varepsilon>0$ и любого замкнутого $J\subseteq I$, $t_{0}\in J$, найдётся такое $\delta>0$, что решение $x\left(t,t_{0},x_{0}^{*}\right)$ этого уравнения, где $\left|x_{0}^{*}-x_{0}\right|<\delta$, определено на $J$ и при всех$t\in J$ $$\left|x\left(t,t_{0},x_{0}^{*}\right) -x\left(t,t_{0},x_{0}\right)\right|<\varepsilon.\tag{12}$$Другими словами, если задаться определённым замкнутым отрезком изменения независимого переменного, то при достаточно малом изменении начальных значений решение мало изменится на всём выбранном промежутке. Этот результат может быть обобщён в сторону получения условий, обеспечивающих дифференцируемость решений обыкновенного дифференциального уравнения по начальным значениям.

Однако сформулированная теорема не исчерпывает актуальную для приложений проблему, поскольку в ней речь идёт лишь о замкнутом отрезке изменения независимого переменного. Между тем часто (например, в теории управления движением) рассматривается решение задачи Коши (5), (7), определённое при всех $t\geq t_0$, и необходимо выяснить устойчивость этого решения по отношению к малым возмущениям начальных значений на всём бесконечном промежутке $t\geq t_0$, т. е. получить условия, обеспечивающие справедливость неравенства (12) при всех $t\geq t_0$. Именно к этой задаче сводится исследование устойчивости положения равновесия или стационарного режима конкретной системы. Решение, мало изменяющееся на бесконечном промежутке $[t_0,\infty)$ при достаточно малых отклонениях начальных значений, называется устойчивым по Ляпунову.

При выводе обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего реальный процесс, всегда приходится чем-то пренебрегать, что-то идеализировать. Иначе говоря, обыкновенные дифференциальные уравнения описывают процесс приближённо. Например, изучение работы лампового генератора приводит к уравнению Ван дер Поля при некоторых предположениях, которые не вполне точно соответствуют действительному положению вещей. Далее, на ход процесса часто оказывают влияние возмущающие факторы, учесть которые при составлении уравнений практически невозможно; известно лишь, что их влияние «мало». Поэтому важно выяснить, как меняется решение при малых изменениях самой системы уравнений, т. е. при переходе от уравнения (5) к возмущённому уравнению $$\dot{x}=f(t,x)+\boldsymbol{R}(t,x),$$учитывающему малые поправочные члены. Оказывается, что на замкнутом отрезке изменения независимого переменного (при тех же предположениях, что и в теореме o непрерывной зависимости решений от начальных значений) решение мало меняется, если возмущение$\boldsymbol{R}(t, x)$ достаточно мало. Если это свойство имеет место на бесконечном промежутке $t \geqslant t_{0}$, то решение называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях.

Исследование устойчивости по Ляпунову, устойчивости при постоянно действующих возмущениях и их модификаций составляют предмет важнейшего раздела качественной теории – теории устойчивости. Для практики в первую очередь представляют интерес такие системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых мало изменяются при всех малых изменениях этих уравнений; такие системы называется грубыми системами.

Другой важной задачей качественной теории является получение схемы поведения семейства решений во всей области определения уравнения. Применительно к автономной системе (9) речь идёт о построении фазовой картины, т. е. о качественном описании в целом всей совокупности фазовых траекторий в фазовом пространстве. Такая геометрическая картина даёт полное представление о характере всех движений, которые могут происходить в рассматриваемой системе. Для этого существенно прежде всего выяснить поведение траекторий в окрестности положений равновесия, отыскать сепаратрисы и предельные циклы. Особо актуальной задачей является нахождение устойчивых предельных циклов, ибо им соответствуют автоколебания в реальных системах.

Любой реальный объект характеризуется различными параметрами, которые часто входят в виде некоторых величин $\left(\varepsilon^{1}, \varepsilon^{2}, \ldots, \varepsilon^{k}\right)=\varepsilon$ в правую часть системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей поведение объекта: $$\dot{x}=f(t, x, \varepsilon).\tag{13}$$Значения этих параметров не могут быть известны абсолютно точно, и потому важно выяснить условия, обеспечивающие устойчивость решений уравнения (13) по отношению к малым возмущениям параметра $\varepsilon$. Если задаться определённым замкнутым отрезком изменения независимого переменного, то при естественных предположениях о правой части уравнения (13) имеет место непрерывная (и даже дифференцируемая) зависимость решений от параметров.

Выяснение зависимости решений от параметра имеет прямое отношение к вопросу о том, насколько хороша идеализация, приводящая к математической модели поведения объекта – системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из типичных примеров идеализации является пренебрежение малым параметром. Если учёт этого малого параметра приводит к системе (13), то непрерывная зависимость решений от параметра позволяет при изучении поведения объекта на конечном отрезке времени безболезненно пренебречь этим параметром, т. е. в первом приближении рассматривать более простую систему $$\dot{x}=f(t, x, 0).$$Этот результат лежит в основе имеющих широкие приложения метода малого параметра, метода усреднения Крылова – Боголюбова и других асимптотических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако исследование ряда явлений приводит к системе дифференциальных уравнений с малым параметром при производных: $$\varepsilon \dot{x}=f(t, x, y), \quad \dot{y}=g(t, x, y).$$Здесь уже нельзя, вообще говоря, принимать $\varepsilon=0$, даже если пытаться составить грубое представление о явлении на конечном отрезке времени.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются некоторые плодотворные и важные обобщения перечисленных выше задач. Прежде всего, можно расширить класс функций, в котором ищется решение задачи Коши (2), (3): определить решение в классе абсолютно непрерывных функций и доказать существование таких решений. Особый интерес для приложений представляет определение решения уравнения (2) в случае, когда функция $f(t,x)$ разрывна или многозначна по $x$. Наиболее общей в этом направлении является задача о решении дифференциального включения.

Рассматривается и более общее, чем (10), неразрешённое относительно старшей производной обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка $$F\left(t, y, \dot{y}, \ldots, y^{(n-1)}, y^{(n)}\right)=0;$$исследования этого уравнения тесно связаны с теорией неявных функций.

Уравнение (2) связывает производную решения в точке $t$ со значением решения в этой же точке: $\dot x(t)=f(t,x(t))$. Но некоторые прикладные задачи (например, требующие учёта эффекта запаздывания исполнительного устройства) приводят к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом: $$\dot{x}(t)=f(t, x(t-\tau));$$здесь производная решения в точке $t$ связывается со значением решения в точке $t-\tau$. Изучению таких уравнений, а также более общих дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящён специальный раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Изучение фазового пространства автономной системы (9) позволяет подойти к ещё одному обобщению обыкновенных дифференциальных уравнений. Траекторию этой системы, проходящую через точку $x_{0}$, будем записывать в виде $x=x\left(t, x_{0}\right)$. Если точке $x_{0}$ поставить в соответствие точку $x\left(t, x_{0}\right)$, то получится преобразование фазового пространства, зависящее от параметра $t$, которое определяет движение в фазовом пространстве. Свойства этих движений исследуются в теории динамических систем. Такие движения можно рассматривать не только в евклидовом пространстве, но и на многообразиях, изучая, например, дифференциальные уравнения на торе.

Выше речь шла об обыкновенных дифференциальных уравнениях в поле действительных чисел [например, отыскивалась действительная функция $x(t)$ действительного переменного $t$, удовлетворяющая уравнению (2)]. Однако некоторые вопросы теории таких уравнений удобнее изучать с привлечением комплексных чисел. Естественным дальнейшим обобщением является изучение обыкновенных дифференциальных уравнений в поле комплексных чисел. Так, можно рассмотреть уравнение $$\frac{d w}{d z}=f(z, w),$$где $f(z, w)$ – аналитическая функция своих переменных, и поставить задачу о нахождении аналитической функции $w(z )$ комплексного переменного $z$, которая удовлетворяла бы этому уравнению. Исследование таких уравнений, уравнений высших порядков и систем составляет предмет аналитической теории дифференциальных уравнений; в частности, она содержит важные для приложений к математической физике результаты, касающиеся линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Можно также рассматривать уравнение$$\frac{d x}{d t}=f(t, x),\tag{14}$$считая, что $x$ принадлежит бесконечномерному банахову пространству $B$, $t$ – действительное или комплексное независимое переменное, а $f(t,x)$ – оператор, отображающий произведение $(-\infty,+\infty) \times B$ в $B$. В виде уравнения (14) можно трактовать, например, системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Уравнения вида (14) изучает теория абстрактных дифференциальных уравнений, лежащая на стыке обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа. В частности, большой интерес представляют линейные дифференциальные уравнения$$\frac{d x}{d t}=A(t) x+F(t)$$с ограниченными или неограниченными операторами; в форме такого уравнения удаётся записать некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными.