Ме́тод дро́бных шаго́в, метод построения экономичных (в смысле числа операций) устойчивых разностных схем для решения дифференциальных уравнений математической физики.

При увеличении размерности задачи число операций для получения численного решения растёт как вследствие роста числа точек, так и вследствие логических трудностей составления программы расчёта. Для системы дифференциальных уравнений

$$\frac{\partial u}{\partial t}=L u, \tag{1}$$где $L=L\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)$ – дифференциальный оператор, $u= u(x, t)$, $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, абсолютно устойчивые неявные схемы простой аппроксимации

$$\begin{gathered} \frac{u^{n+1}-u^n}{\tau}=\Lambda_1 u^{n+1}+\Lambda_0 u^n, \\ \Lambda_0 \sim L_0,\quad \Lambda_1 \sim L_2,\quad L_0+L_1=L, \end{gathered} \tag{2}$$становятся неэффективными в случае многомерных задач. В одних случаях требуется использовать слишком мелкий шаг по времени, в других нахождение каждого $u^{n+1}$ требует $\operatorname{const}\cdot N^{\alpha(m)}$ операций, где $N$ – число точек на одно измерение, $m$ – число пространственных измерений, а $\alpha(m)$ сильно растёт с увеличением $m$.

Для получения экономичных устойчивых разностных схем предложены методы, основанные на следующих идеях:

1) расщепления разностных схем;

2) приближённой факторизации;

3) расщепления (слабой аппроксимации) дифференциальных уравнений.

В случае уравнения (1) соответствующие разностные схемы имеют вид (для простоты взяты два дробных шага и рассматривается периодическая задача Коши):

$$\left.\begin{aligned} &\frac{u^{n+ 1/2} u^n}{\tau}=\Lambda_{11} u^{n+1 / 2}+\Lambda_{01} u^n, \\ &\frac{u^{n+1}-u^{n+1 / 2}}{\tau}=\Lambda_{12} u^{n+1}+\Lambda_{02} u^{n+1 / 2}; \end{aligned}\right\} \tag{3}$$схема приближённой факторизации:

$$\begin{gathered} \left(E-\tau \Lambda_{11}\right)\left(E-\tau \Lambda_{12}\right) u^{n+1}=(E+\tau \Omega) u^n, \\ \Lambda_{11}+\Lambda_{12}=\Lambda_1, \quad \Omega\sim\Lambda_0; \end{gathered} \tag{4}$$схема слабой аппроксимации:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\left(\alpha_1 L_1+\alpha_2 L_2\right) u=L u, \quad L=L_0+L_1, \tag{5}$$$$\begin{gathered} \alpha_1(t, \tau)=2,\quad \alpha_2(t, \tau)=0 \,\, \text { при } \,\, t \in\left[n \tau,\left(n+\frac{1}{2}\right) \tau\right], \\ \alpha_1(t, \tau)=0,\quad \alpha_2(t, \tau)=2\,\, \text { при }\,\, t \in\left[\left(n +\frac{1}{2}\right) \tau,(n+1) \tau\right]. \end{gathered}$$В случае схем (3) и (4) обращение оператора $E-\tau \Lambda_1$ заменяется обращением оператора $\left(E-\tau \Lambda_{11}\right)\left(E-\tau \Lambda_{12}\right)$, т. е. последовательным обращением операторов $E- \tau \Lambda_{11}$, $E-\tau \Lambda_{12}$, вообще говоря, более простой структуры.

Трактовка (5) позволяет рассматривать схему расщепления

$$\frac{u^{n+1 / 2}-u^n}{\tau}=\Lambda_1 u^{n+1 / 2}, \quad \frac{u^{n+1}-u^{n+1 / 2}}{\tau}=\Lambda_2 u^{n+1}$$как простую аппроксимацию уравнения (5), слабо аппроксимирующего уравнение (1).

Таким образом, в основе этих методов лежит представление сложных операторов через простейшие, при этом интегрирование исходного уравнения сводится к интегрированию уравнений более простой структуры, а методы дробных шагов обязаны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только в окончательном итоге (при записи их в «целых» шагах). Методом расщепления решаются многие сложные задачи математической физики.

Большое развитие получили схемы расщепления повышенного порядка точности. К одной из модификаций метода расщепления принадлежит метод «частиц в ячейках»: здесь расщепление производится по физическим процессам и не связано с понижением размерности операторов.